{
  "version": "v5.1-certified-batch-3",
  "certified_count": 84,
  "solutions": {
    "m2-01-base-choice-001": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.1",
      "title": "先判奇偶性，不被“周期因子”带偏",
      "idea": "这题最快只看 f(-x)。",
      "steps": [
        "sin(-x)=-sin x，cos(-x)=cos x。",
        "(-x)sin(-x)=x sin x，所以 |(-x)sin(-x)|=|x sin x|。",
        "因此 f(-x)=f(x)，f 为偶函数，选 C。"
      ],
      "key": "\\(e^{\\cos x}\\) 虽然周期，但 |x sin x| 含 |x|，不能因此推出整个函数周期。",
      "pitfall": "看到 cos x 就先判周期，是这题最容易踩的坑。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-02-base-choice-001": {
      "answer": "A",
      "section_id": "2.1",
      "title": "分段点可导：左右导数都回定义",
      "idea": "φ(x) 只给“有界”，正好够控制 xφ(x)→0。",
      "steps": [
        "x→0⁺ 时，1-cos x ~ x²/2，所以 f(x)=(1-cos x)/√x→0。",
        "x→0⁻ 时，x²φ(x)→0；且 f(0)=0，因此在 0 连续。",
        "右导数：(1-cos x)/(x√x) ~ (1/2)√x→0。",
        "左导数：x²φ(x)/x=xφ(x)→0（φ 有界）。",
        "左右导数相等，故 f 在 0 可导，选 A。"
      ],
      "key": "“有界 × 趋于 0 = 趋于 0”是左导数的决定性一步。",
      "pitfall": "只验证连续就停下，不能推出可导。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-03-base-choice-001": {
      "answer": "C",
      "section_id": "3.1",
      "title": "先对已知不定积分求导，再反推 f(x)",
      "idea": "不需要先把 f(x) 写得很复杂，先求 1/f(x)。",
      "steps": [
        "由 ∫x f(x)dx=arcsin x+C，两边求导：x f(x)=1/√(1-x²)。",
        "所以 1/f(x)=x√(1-x²)。",
        "于是 ∫dx/f(x)=∫x√(1-x²)dx。",
        "令 u=1-x²，du=-2x dx，得 -⅓\\((1-x^2)^{3/2}\\)+C，选 C。"
      ],
      "key": "看到“一个不定积分等于已知函数”，第一反应就是两边求导。",
      "pitfall": "常数 C 求导后消失，不要把它带进后续运算。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-04-base-choice-001": {
      "answer": "B",
      "section_id": "4.1",
      "title": "偏导存在与否，分别沿坐标轴用定义",
      "idea": "在原点求偏导，只需要把另一个变量固定为 0。",
      "steps": [
        "f(x,0)=arcsin|x|，故 f_x(0,0)=lim_{x→0} arcsin|x|/x。",
        "arcsin|x|~|x|，所以该极限等价于 |x|/x，左右极限不同，f_x 不存在。",
        "f(0,y)=arcsin(y²)，故 f_y(0,0)=lim_{y→0}arcsin(y²)/y ~ y→0，存在且为 0。",
        "因此选 B。"
      ],
      "key": "偏导定义把二维问题瞬间降成一维极限。",
      "pitfall": "“两个方向都趋于 0”与“偏导存在”不是同一回事；这里必须除以对应增量。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-05-base-choice-001": {
      "answer": "B",
      "section_id": "5.4",
      "title": "先把二重积分比较变成区域上的被积函数比较",
      "idea": "区域 D 内 t=x+y 始终满足 1/2≤t≤1。",
      "steps": [
        "令 t=x+y，则在 D 上 1/2≤t≤1。",
        "此时 ln t≤0，而 sin t>0、t>0，所以 (ln t)^9≤(sin t)^9。",
        "又 0<sin t≤t（t>0），故 (sin t)^9≤t^9。",
        "同一区域积分保持大小关系：I₁≤I₃≤I₂，选 B。"
      ],
      "key": "比较二重积分，若区域相同，优先逐点比较被积函数。",
      "pitfall": "9 是奇数，ln t<0 后仍保持负号；不要把它当偶次幂。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-06-base-choice-001": {
      "answer": "A",
      "section_id": "6.1",
      "title": "把 y y′ 认成 (y²/2)′",
      "idea": "原方程乘 y 后直接可积分。",
      "steps": [
        "y′+x/y=0 ⇒ y y′+x=0。",
        "即 (y²/2)′+(x²/2)′=0。",
        "积分得 x²+y²=C，其中常数重新记号即可写成 x²+y²=C²。",
        "对应选项 A。"
      ],
      "key": "常数名称可以重记，不要被 C 与 C² 的形式干扰。",
      "pitfall": "把 y y′ 错写成 (y²)′，会差一个 2。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-07-base-choice-001": {
      "answer": "A",
      "section_id": "7.2",
      "title": "余子式 M 与代数余子式 A 先把符号关系写清",
      "idea": "把 M₄j 全部换成 A₄j，再利用按第 4 行展开。",
      "steps": [
        "A₄j=\\((-1)^{4+j}\\)M₄j，因此 M₄₁+M₄₂+M₄₃+M₄₄=-A₄₁+A₄₂-A₄₃+A₄₄。",
        "这等于把原行列式第 4 行替换为 (-1,1,-1,1) 后按第 4 行展开所得行列式。",
        "利用第 3 行 (0,-7,0,0) 展开，化为 7·|3 4 0; 2 2 2; -1 -1 1|=-28。",
        "故选 A。"
      ],
      "key": "代数余子式才带 \\((-1)^{i+j}\\)；Mij 本身不带符号。",
      "pitfall": "把 Mij 直接当成 Aij，是这类题最常见的失分点。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-08-base-choice-001": {
      "answer": "B",
      "section_id": "8.2",
      "title": "左乘看行，右乘看列",
      "idea": "先判断 P 对行做什么，再判断 Q 对列做什么。",
      "steps": [
        "左乘 P：把 A 的行按 P 的作用重新排列。",
        "右乘 Q：对所得矩阵做相应列变换。",
        "逐步与题中给出的 B 对照，得到 B=PAQ。",
        "故选 B。"
      ],
      "key": "左乘矩阵作用在“行”，右乘矩阵作用在“列”；位置不能反。",
      "pitfall": "只看最终数字硬算，既慢又容易把 AP、PA、AQ、QA 混掉。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-09-base-choice-001": {
      "answer": "A",
      "section_id": "9.2",
      "title": "用“α₂、α₃独立”逼出 α₁ 的系数非零",
      "idea": "相关关系里如果 α₁ 的系数为 0，就会直接和已知独立矛盾。",
      "steps": [
        "α₂、α₃、α₄ 线性无关，因此 α₂、α₃ 也线性无关。",
        "α₁、α₂、α₃ 线性相关，存在不全为 0 的 c₁,c₂,c₃，使 c₁α₁+c₂α₂+c₃α₃=0。",
        "若 c₁=0，则 α₂、α₃ 线性相关，矛盾；故 c₁≠0。",
        "因此 α₁ 可由 α₂、α₃ 线性表示，选 A。"
      ],
      "key": "“删掉一个向量后仍独立”常用来保证相关关系中被删向量的系数不为 0。",
      "pitfall": "线性相关只说明“至少有一个向量可由其余表示”，不是随便指定哪个都可以。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-10-base-choice-001": {
      "answer": "B",
      "section_id": "10.3",
      "title": "非齐次通解 = 齐次通解 + 一个特解",
      "idea": "η₁、η₂ 都是 Ax=b 的解，所以“差”是齐次解，“平均”仍是非齐次解。",
      "steps": [
        "A(η₁-η₂)=b-b=0，所以 (η₁-η₂)/2 是 Ax=0 的解。",
        "A(η₁+η₂)/2=(b+b)/2=b，所以 (η₁+η₂)/2 是 Ax=b 的一个特解。",
        "ξ₁、ξ₂ 是齐次基础解系，因此 ξ₁ 与 ξ₁-ξ₂ 仍线性无关，可作为新的齐次基础解系。",
        "于是选项 B 正好是“齐次通解 + 特解”。"
      ],
      "key": "两非齐次解相减→齐次解；系数和为 1 的线性组合→仍是同一个非齐次方程的解。",
      "pitfall": "把 η₁-η₂ 当特解，或者把 η₁+η₂ 不除 2 就当 Ax=b 的解。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-11-base-choice-001": {
      "answer": "B",
      "section_id": "11.1",
      "title": "矩阵函数的特征值直接对 λ 做同样运算",
      "idea": "若特征值为 \\(\\lambda=2\\)，先得到逆矩阵和平方后的对应特征值。",
      "steps": [
        "若 \\(A\\alpha=2\\alpha\\) 且 \\(A\\) 可逆，则 \\(A^{-1}\\alpha=\\tfrac12\\alpha\\)。",
        "因此 \\(A^{-2}=(A^{-1})^2\\) 的对应特征值为 \\(\\tfrac14\\)。",
        "又 \\((\\tfrac13 A^2)^{-1}=3A^{-2}\\)。",
        "所以所求对应特征值为 \\(3\\times\\tfrac14=\\tfrac34\\)，选 B。"
      ],
      "key": "先化简矩阵表达式，再对特征值 \\(\\lambda\\) 做同样的代数运算。",
      "pitfall": "注意 \\((cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}\\)：外面的 \\(\\tfrac13\\) 取逆后变成 3。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-12-base-choice-001": {
      "answer": "B",
      "section_id": "12.1",
      "title": "交叉项系数要除以 2",
      "idea": "二次型 xᵀAx 中，xᵢxⱼ 会由 aij 和 aji 各贡献一次。",
      "steps": [
        "取 A 为实对称矩阵。",
        "x₁x₂ 的系数为 2a₁₂=1，所以 a₁₂=a₂₁=1/2。",
        "同理 a₁₃=a₃₁=1/2，a₂₃=a₃₂=1/2。",
        "没有平方项，所以三个对角元均为 0，得到选项 B。"
      ],
      "key": "二次型矩阵：平方项直接进对角线，交叉项系数“除以 2”放到对称位置。",
      "pitfall": "把 x₁x₂ 的系数 1 直接写成 a₁₂=1，会让展开后交叉项变成 2x₁x₂。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-002": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.1",
      "title": "复合函数单调性：内外层方向一起看",
      "idea": "不必求导。先看内层怎么变，再看外层在对应取值区间上怎么变。",
      "steps": [
        "在 (0,π/2) 上，sin x 单调增加；而 cos t 在 t∈(0,1) 上单调减少，所以 f(x)=cos(sin x) 单调减少。",
        "在 (0,π/2) 上，cos x 单调减少；而 sin t 在 t∈(0,1) 上单调增加，所以 g(x)=sin(cos x) 也单调减少。",
        "因此 f(x)、g(x) 都单调减少，选 D。"
      ],
      "key": "复合函数单调性不要只盯最外层：内层与外层同向则增，反向则减。",
      "pitfall": "直接凭“sin 增、cos 减”下结论而不确认复合后的取值区间。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-003": {
      "answer": "B",
      "section_id": "1.1",
      "title": "先判奇偶，再用有理化看无穷远",
      "idea": "这个根式差最适合先代 -x 判结构，再有理化判断有界性和无穷远极限。",
      "steps": [
        "代入 -x：f(-x)=√(1-x+x²)-√(1+x+x²)=-f(x)，所以 f 为奇函数。",
        "有理化：f(x)=2x/[√(1+x+x²)+√(1-x+x²)]。",
        "当 x→+∞ 时，分母与 2x 同阶，故 f(x)→1；由奇函数性可知 x→-∞ 时 f(x)→-1，因此函数并非无界。",
        "结合各选项，选 B。"
      ],
      "key": "两个根式相减时，有理化往往能直接暴露数量级。",
      "pitfall": "看到分子、分母都含 x² 就粗暴地认为极限相同；负无穷处要注意 √(x²)=|x|。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-004": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.2",
      "title": "把乘积放到分母后立刻拆项",
      "idea": "已知 f(x),g(x)→∞，目标式不要硬比阶，直接拆成两个倒数。",
      "steps": [
        "(f+g)/(fg)=1/g+1/f。",
        "因为 x→∞ 时 f(x)→∞、g(x)→∞，所以 1/f(x)→0、1/g(x)→0。",
        "故原式→0，是无穷小量，选 D。"
      ],
      "key": "看到 (f+g)/(fg)，第一反应应是拆成 1/f+1/g。",
      "pitfall": "“∞/∞”只是未定式，不能仅凭形式判断极限。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-005": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.2",
      "title": "振荡因子乘发散尺度：用数列取值判定",
      "idea": "sin(1/x) 在 -1 到 1 间不停振荡，而 1/x² 把振幅无限放大。",
      "steps": [
        "当 x→0 时，1/x²→+∞，但 sin(1/x) 不趋于固定值。",
        "取 x_n=1/(2nπ+π/2)，则 sin(1/x_n)=1，所以 (1/x_n²)sin(1/x_n)→+∞。",
        "再取 y_n=1/(nπ)，则 sin(1/y_n)=0，函数值恒为 0。",
        "同一极限过程出现趋于 +∞ 与恒为 0 的子列，所以既不趋于 +∞ 也不趋于 -∞；但函数在 0 附近无界，选 D。"
      ],
      "key": "判断“无界但不是无穷大”，构造两个行为不同的子列最稳。",
      "pitfall": "把“绝对值可能很大”误当成“函数趋于无穷大”；无穷大要求最终持续离开任意有界范围。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-006": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.2",
      "title": "先做多项式除法，渐近项一眼看清",
      "idea": "比起配系数硬通分，先把 x²/(x+1) 除出来最稳定。",
      "steps": [
        "多项式除法：x²/(x+1)=x-1+1/(x+1)。",
        "所以 x²/(x+1)-ax-b=(1-a)x+(-1-b)+1/(x+1)。",
        "要使 x→∞ 时极限为 0，必须先消掉一次项：1-a=0，得 a=1。",
        "再令常数项为 0：-1-b=0，得 b=-1；此时只剩 1/(x+1)→0。故选 C。"
      ],
      "key": "存在有限斜渐近式时，本质就是把线性主部和常数主部依次消掉。",
      "pitfall": "只令最高次项系数相消，却忘了常数项也必须相消。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-007": {
      "answer": "B",
      "section_id": "1.3",
      "title": "先定等价阶数，再翻译“高阶无穷小”",
      "idea": "把三个量都写成 x 的幂次，题目立刻变成比较指数。",
      "steps": [
        "x→0 时，x-sin x ~ x³/6，tan x ~ x，因此 (x-sin x)tan x ~ x⁴/6。",
        "又 ln(1+xⁿ) ~ xⁿ。",
        "“x⁴ 是 xⁿ 的高阶无穷小”要求 x⁴/xⁿ→0，即 4>n。",
        "“xⁿ 是 x² 的高阶无穷小”要求 xⁿ/x²→0，即 n>2。于是 2<n<4，只能 n=3，选 B。"
      ],
      "key": "高阶无穷小 A 比 B 高阶 ⇔ A/B→0；对 x 的幂就是指数更大。",
      "pitfall": "把“高阶”理解成指数更小，方向会完全反掉。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-008": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.3",
      "title": "同阶于 x³：把低于三阶的系数全部消掉",
      "idea": "分母 1+bx→1，不影响阶数；只需控制通分后分子的泰勒系数。",
      "steps": [
        "通分后，原差的阶数由 N(x)=eˣ(1+bx)-(1+ax²) 决定。",
        "展开到三阶：eˣ(1+bx)=1+(1+b)x+(1/2+b)x²+(1/6+b/2)x³+o(x³)。",
        "要与 x³ 同阶，一、二阶项必须消失：1+b=0，1/2+b-a=0。",
        "得 b=-1，a=-1/2；此时三阶系数 1/6-1/2=-1/3≠0，确为三阶同阶，选 D。"
      ],
      "key": "“与 x³ 同阶”不仅要求低阶项为 0，还必须确认三阶系数不为 0。",
      "pitfall": "只解出一、二阶系数为 0 就结束，没有检查三阶系数是否也意外消失。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-009": {
      "answer": "A",
      "section_id": "1.2",
      "title": "增长速度链：对数平方 < 幂函数 < 指数函数",
      "idea": "分别用两个标准极限把 ln²x、x、\\(e^{x/2}\\) 串起来。",
      "steps": [
        "当 x→∞ 时，(ln x)²/x→0，所以充分大的 x 下有 (ln x)²<x。",
        "同时 x/\\(e^{x/2}\\)→0，所以充分大的 x 下有 x<\\(e^{x/2}\\)。",
        "因此 f(x)<g(x)<h(x)，选 A。"
      ],
      "key": "常见增长速度：对数幂 << 正幂 << 指数。考试中用对应比值极限验证即可。",
      "pitfall": "“充分大的 x”只要求最终大小关系，不要求从 x>1 开始处处成立。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-010": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.4",
      "title": "数列极限存在性：用和、差反解原数列",
      "idea": "C 用反证最短：若和与差都收敛，就能推出 aₙ 收敛。",
      "steps": [
        "假设 aₙ+bₙ 的极限存在。",
        "若再假设 aₙ-bₙ 的极限也存在，则两式相加可得 2aₙ=(aₙ+bₙ)+(aₙ-bₙ)。",
        "两个收敛数列之和仍收敛，因此 aₙ 必有极限，这与题设“lim aₙ 不存在”矛盾。",
        "所以只要 aₙ+bₙ 的极限存在，aₙ-bₙ 的极限就必不存在，选 C。"
      ],
      "key": "和、差同时收敛 ⇒ 原来的两个数列都可由线性组合还原并收敛。",
      "pitfall": "“两个数列都发散”并不能推出它们的和或差一定发散，发散项可能互相抵消。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-011": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.4",
      "title": "n 次幂有有限正极限：先取对数",
      "idea": "正数列遇到 xₙⁿ→e，取 ln 后就直接得到 n(xₙ-1) 的极限。",
      "steps": [
        "由 xₙⁿ→e>0，取对数得 n ln xₙ→1；同时可知 xₙ→1。",
        "因为 xₙ→1 时 ln xₙ ~ xₙ-1，所以 n(xₙ-1)→1。",
        "同理 n(yₙ-1)→1。",
        "因此 n(xₙ+yₙ-2)=n(xₙ-1)+n(yₙ-1)→2，选 C。"
      ],
      "key": "aₙⁿ→e^c 的经典处理：取对数得到 n ln aₙ→c，再用 ln aₙ~aₙ-1。",
      "pitfall": "直接把“xₙⁿ→e”误写成“xₙ→e”；n 次根最终趋于 1。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-012": {
      "answer": "A",
      "section_id": "1.5",
      "title": "间断点分类：左右极限分开算",
      "idea": "含 \\(e^{1/x}\\) 和 |x|，左右行为完全不同，分别算最稳。",
      "steps": [
        "x→0⁻ 时，\\(e^{1/x}\\),\\(e^{2/x}\\)→0，所以第一项→2；且 sin x/|x|=sin x/(-x)→-1，故左极限为 1。",
        "x→0⁺ 时，把第一项分子分母同除以 \\(e^{2/x}\\)：它变为 [2\\(e^{-2/x}\\)+\\(e^{-1/x}\\)]/[\\(e^{-2/x}\\)+1]→0；同时 sin x/|x|=sin x/x→1。",
        "所以右极限也为 1。左右极限相等且有限，但 f(0) 无定义。",
        "因此 x=0 是可去间断点，选 A。"
      ],
      "key": "\\(e^{1/x}\\) 类题必须左右分开；右侧可用“同除最高指数项”避免 ∞/∞。",
      "pitfall": "看到 \\(e^{1/x}\\) 在 0 处无定义就直接判无穷间断，未计算左右极限。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-choice-013": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.5",
      "title": "先锁定三个可疑点，再逐个分类",
      "idea": "分母积分的零点在 x=±1，指数 \\(e^{-1/x}\\) 又使 x=0 成为可疑点；只需检查这三处。",
      "steps": [
        "令 F(x)=∫₁ˣ t²sin t dt。因 t²sin t 为奇函数，F(1)=0 且 F(-1)=0；结合积分函数在各区间的单调性，可知区间内分母的零点就是 ±1。另 \\(e^{-1/x}\\) 在 x=0 无定义，因此可疑间断点为 -1、0、1。",
        "在 x=1 处，F(x)~F′(1)(x-1)=sin1·(x-1)，分子也含 (x-1)，约去后左右极限相同且有限，所以 x=1 属于第一类间断点（可去）。",
        "在 x=-1 处，F(x)~F′(-1)(x+1)=-sin1·(x+1)，而分子含 |x+1|，于是左右极限都有限但符号不同，所以 x=-1 属于第一类间断点（跳跃）。",
        "在 x=0 处，右侧 \\(e^{-1/x}\\)→0，而左侧 \\(e^{-1/x}\\)→+∞，至少一侧出现无穷行为，因此属于第二类间断点。故第一类间断点共 2 个，选 C。"
      ],
      "key": "复杂间断点题先找“表达式哪里可能失效”，再用局部等价 F(x)~F′(x₀)(x-x₀) 分类。",
      "pitfall": "把“第一类间断点”只理解成可去间断点；跳跃间断点同样属于第一类。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-fill-001": {
      "answer": "1",
      "result": "1",
      "section_id": "1.1",
      "title": "复合三次不用展开：先看函数值域",
      "idea": "这个分段函数只会取 0 或 1，第二次代入以后就稳定为 1。",
      "steps": [
        "由定义可知，对任意 x 都有 f(x)∈{0,1}，因此 |f(x)|≤1。",
        "于是 f(f(x))=1。",
        "再代一次：f(f(f(x)))=f(1)=1。"
      ],
      "key": "复合函数题先观察“内层输出落到哪里”，往往比逐层分情况更快。",
      "pitfall": "把 f(f(x)) 当成 f(x)²；函数复合不是乘方。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-fill-002": {
      "answer": "−3/2",
      "result": "a=−3/2",
      "section_id": "1.3",
      "title": "等价无穷小直接比二阶主项",
      "idea": "两边都是二阶无穷小，只需把 x² 的系数对齐。",
      "steps": [
        "x→0 时，(1+ax²)^(1/3)−1 ~ (a/3)x²。",
        "同时 cos x−1 ~ −x²/2。",
        "两者等价意味着比值趋于 1，所以 a/3=−1/2。",
        "解得 a=−3/2。"
      ],
      "key": "同阶且要求“等价”，不仅阶数要相同，首项系数也必须相同。",
      "pitfall": "只判断两边都是 x² 阶就结束；等价无穷小要求比值为 1。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-fill-003": {
      "answer": "−2",
      "result": "a=−2",
      "section_id": "1.5",
      "title": "分段点连续：极限必须等于函数值",
      "idea": "把分子两部分拆开，用两个基本极限即可。",
      "steps": [
        "连续要求 lim(x→0) f(x)=f(0)=a。",
        "当 x→0 时，sin(2x)/x→2；又 (e^(2ax)−1)/x = 2a·[(e^(2ax)−1)/(2ax)]→2a。",
        "所以 lim(x→0) f(x)=2+2a。",
        "令 2+2a=a，解得 a=−2。"
      ],
      "key": "分段函数在拼接点连续的标准方程就是“左右极限 = 函数值”。",
      "pitfall": "把指数项误写成极限 a；真正的线性主项是 2ax。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-fill-004": {
      "answer": "P≤2",
      "result": "P≤2",
      "section_id": "1.3",
      "title": "指数差先化成 1/x² 的主项",
      "idea": "关键不是反复洛必达，而是看 a^(1/x) 与 a^(1/(x+1)) 的差究竟是几阶。",
      "steps": [
        "令 L=ln a。因 a>0 且 a≠1，所以 L≠0。",
        "x→∞ 时，a^(1/x)=e^(L/x)，a^(1/(x+1))=e^(L/(x+1))。两者之差与指数之差同阶。",
        "因此 a^(1/x)−a^(1/(x+1)) ~ L[1/x−1/(x+1)] ~ L/x²。",
        "原式与 L·x^(P−2) 同阶。要有有限极限，必须 P−2≤0，即 P≤2；P<2 时极限为 0，P=2 时极限为 ln a。"
      ],
      "key": "先判出差值是 1/x² 阶，P 的范围立即变成指数比较。",
      "pitfall": "只看到每一项都趋于 1，就误判它们的差是一阶 1/x；相邻两个指数的 1/x 项还会再相减一次。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-fill-005": {
      "answer": "0",
      "result": "0",
      "section_id": "1.2",
      "title": "指数压过多项式，再用有界因子收尾",
      "idea": "前面的分式趋于 0，后面的三角因子始终有界。",
      "steps": [
        "当 x→∞ 时，e^x 的增长速度高于任何固定次数多项式，因此 (x³+x²+1)/(e^x+x³)→0。",
        "又 |sin x+cos x|≤√2（用 ≤2 也足够）。",
        "由有界量乘无穷小仍为无穷小，原极限为 0。"
      ],
      "key": "“无穷小 × 有界量 → 0”可以直接处理振荡因子，不需要研究 sin x+cos x 的极限。",
      "pitfall": "因为 sin x+cos x 没有极限，就错误地认为整个乘积极限不存在。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-fill-006": {
      "answer": "1/12",
      "result": "1/12",
      "section_id": "1.3",
      "title": "泰勒展开到四阶，差值一次看清",
      "idea": "分子两项的二阶主项相同，必须展开到 x⁴ 才能看到真正差别。",
      "steps": [
        "x→0 时，2−2cos x = x²−x⁴/12+o(x⁴)。",
        "因此 e^(x²)=1+x²+x⁴/2+o(x⁴)。",
        "而 e^(2−2cos x)=1+(x²−x⁴/12)+x⁴/2+o(x⁴)=1+x²+5x⁴/12+o(x⁴)。",
        "所以分子 = x⁴/12+o(x⁴)；分母 e^(x⁴)−1 ~ x⁴。故极限为 1/12。"
      ],
      "key": "当两个表达式的低阶项完全相同，泰勒必须展开到“第一次不相同”的那一阶。",
      "pitfall": "只用 e^u−1~u 会得到 x²−(2−2cos x)，若不继续展开 cos x 就无法得到常数。",
      "alternate": {
        "title": "提取公因式 + 一次洛必达",
        "steps": [
          "分母 e^(x⁴)−1~x⁴。分子提取 e^(2−2cos x)：e^(x²)−e^(2−2cos x)=e^(2−2cos x)[e^(x²−2+2cos x)−1]。",
          "由于 e^(2−2cos x)→1 且 e^u−1~u，原极限化为 lim [x²−2+2cos x]/x⁴。",
          "洛必达一次：该极限 = lim [2x−2sin x]/(4x³)=1/2·lim (x−sin x)/x³=1/12。"
        ],
        "note": "这条路线更接近官方解析；主解的四阶泰勒更直接。两种都属于数学二常规范围。"
      },
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-solution-001": {
      "answer": "结果",
      "result": "f(x)= c/(a²−b²) · (a/x−bx)，且 f 为奇函数",
      "section_id": "1.1",
      "title": "把 x 换成 1/x，联立两式消元",
      "idea": "题目同时出现 f(x) 与 f(1/x)，最自然的操作就是再做一次 x↔1/x。",
      "steps": [
        "原式为 a f(x)+b f(1/x)=c/x。把 x 替换为 1/x，得 a f(1/x)+b f(x)=cx。",
        "用第一式乘 a、第二式乘 b 后相减： (a²−b²)f(x)=ac/x−bcx。",
        "由 |a|≠|b| 可知 a²−b²≠0，所以 f(x)= c/(a²−b²)·(a/x−bx)。",
        "再代入 −x：f(−x)=c/(a²−b²)·(−a/x+bx)=−f(x)，故 f 为奇函数。"
      ],
      "key": "出现 x 与 1/x 的对称结构时，用“互换变量 + 二元线性方程组”最稳定。",
      "pitfall": "条件 |a|≠|b| 的作用就是保证 a²−b²≠0，可以安全消元除掉。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-solution-002": {
      "answer": "8问",
      "result": "(I)1；(II)(abc)^(1/3)；(III)−1；(IV)−3e³/2；(V)1/3；(VI)1/6；(VII)e^(−2)；(VIII)1",
      "section_id": "1.2",
      "title": "八个极限：先识别结构，再选最短工具",
      "idea": "这组题不是靠一招硬算，而是训练“有界/等价/1^∞/泰勒”的快速识别。",
      "steps": [
        "(I) 分子分母同除以 x²：sin x/x→0，sin(1/x)/x→0，所以极限为 1。",
        "(II) 写成 [1+u_x]^x，其中 u_x=[a^(1/x)+b^(1/x)+c^(1/x)−3]/3。由 t^(1/x)−1 ~ (ln t)/x，得 x u_x→(ln a+ln b+ln c)/3，因此极限为 exp[(ln abc)/3]=(abc)^(1/3)。",
        "(III) 把 x 提进对数：分子 = ln(1+sin²x/e^x)，分母 = ln(1−x²/e^(2x))。x→0 时分别等价于 sin²x/e^x 与 −x²/e^(2x)，比值→−1。",
        "(IV) 设 u(x)=3 ln(1+x)/x，则 (1+x)^(3/x)=e^(u(x))，且 u(x)=3−(3/2)x+o(x)。因此 [e^(u(x))−e³]/x→e³·(−3/2)=−3e³/2。",
        "(V) e^(tan x)−e^x=e^x[e^(tan x−x)−1]，而 tan x−x ~ x³/3，所以除以 x³ 后极限为 1/3。",
        "(VI) cot x(1/sin x−1/x)=(x−sin x)/(x sin²x)；用 x−sin x~x³/6、sin x~x，得 1/6。",
        "(VII) 取对数：ln L = lim ln(1−x²)/[1−√(1−x²)]。分子 ~−x²，分母 ~x²/2，所以 ln L=−2，故 L=e^(−2)。",
        "(VIII) x^(sin x)=exp(sin x·ln x)。x→0⁺ 时 sin x·ln x ~ x ln x→0，所以极限为 1。"
      ],
      "key": "先分类：乘除型先等价；幂指型先取对数；差值很小再考虑泰勒。",
      "pitfall": "等价无穷小主要用于乘除结构；遇到加减，必须先整理结构或展开到足够阶。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-solution-003": {
      "answer": "5问",
      "result": "(I)1/2；(II)√2/2；(III)1/2；(IV)1；(V)√3",
      "section_id": "1.4",
      "title": "数列极限五题：夹逼、有理化、裂项与指数化",
      "idea": "每一问都对应一种考研常用的数列极限模型，不需要偏技巧。",
      "steps": [
        "(I) 各分母介于 n²+n+1 与 n²+2n 之间，而分子和 1+2+…+n=n(n+1)/2。上下夹逼后两端都趋于 1/2，所以原极限为 1/2。",
        "(II) 利用 1+…+n=n(n+1)/2，有理化根式差：结果为 n/[√(n(n+1)/2)+√(n(n−1)/2)]→√2/2。",
        "(III) 1/(4k²−1)=1/2·[1/(2k−1)−1/(2k+1)]，求和后中间项消去，S_n=1/2·[1−1/(2n+1)]→1/2。",
        "(IV) 1≤1+1/2+…+1/n≤n，所以 1≤(1+1/2+…+1/n)^(1/n)≤n^(1/n)→1，由夹逼得 1。",
        "(V) 写成 [1+(3^(1/n)−1)/2]^n。由 n(3^(1/n)−1)→ln3，指数型极限得到 exp[(ln3)/2]=√3。"
      ],
      "key": "数列题先找“可夹逼、可裂项、可取对数”的结构，比套复杂定理更稳。",
      "pitfall": "第 (IV) 问不需要估计调和级数的精确增长；只要粗界 ≤n 就足够夹逼 n 次根。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-solution-004": {
      "answer": "4点",
      "result": "π/4、5π/4 为第二类；3π/4、7π/4 为第一类可去间断点",
      "section_id": "1.5",
      "title": "幂指函数间断点：先检查 tan 的零点和无定义点",
      "idea": "底数 1+x 在区间内始终为正，所有异常都来自指数 x/tan(x−π/4)。",
      "steps": [
        "在 (0,2π) 内，tan(x−π/4)=0 时有 x=π/4、5π/4；tan 本身无定义时有 x=3π/4、7π/4。因此只需检查这四点。",
        "当 x→π/4 或 5π/4 时，tan(x−x₀)~x−x₀，指数近似 x₀/(x−x₀)，一侧趋于 +∞、另一侧趋于 −∞；因底数 >1，函数一侧趋于 +∞、另一侧趋于 0，所以这两点均为第二类间断点。",
        "当 x→3π/4 或 7π/4 时，tan(x−π/4)→±∞，故指数 x/tan(x−π/4)→0。",
        "于是两侧函数极限都为 (1+x₀)^0=1，但原函数在该点无定义，所以这两点是第一类中的可去间断点。"
      ],
      "key": "tan 的“零点”使 1/tan 发散；tan 的“无定义点”反而使 1/tan→0，这两个角色不要混。",
      "pitfall": "只列出 tan=0 的点，漏掉 tan 自身无定义导致原函数也无定义的点。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-base-solution-005": {
      "answer": "分段",
      "result": "0<|x|<1 时 f=−1；|x|=1 时 f=0；|x|>1 时 f=x²。x=0 可去，x=±1 跳跃，三点均属第一类间断点",
      "section_id": "1.5",
      "title": "先求极限函数的分段表达式，再讨论连续性",
      "idea": "n 同时出现在正负幂中，先乘 x^n，把问题变成 x^(2n) 的三种情形。",
      "steps": [
        "对 x≠0，分子分母同乘 x^n：f(x)=lim[n→∞] [x^(2n+2)−1]/[x^(2n)+1]。",
        "若 0<|x|<1，则 x^(2n)→0，故 f(x)=−1；若 |x|=1，则分子恒为 0，故 f(x)=0；若 |x|>1，同除 x^(2n)，得 f(x)→x²。",
        "因此 f 在四个开区间 (−∞,−1)、(−1,0)、(0,1)、(1,∞) 内连续。",
        "x=0 处左右极限均为 −1，但原表达式不定义，故为可去间断点。",
        "x=−1 处左极限为 1、右极限为 −1；x=1 处左极限为 −1、右极限为 1，故 ±1 均为跳跃间断点。三者都属于第一类间断点。"
      ],
      "key": "带 x^n 与 x^(−n) 的极限，通常按 |x|<1、=1、>1 三段处理。",
      "pitfall": "求出分段极限函数后就结束；题目问连续性，还必须单独检查分界点以及原表达式无定义的 x=0。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-001": {
      "answer": "A",
      "section_id": "1.3",
      "title": "令 t=1/x，把无穷远化成 0 附近等价",
      "idea": "分子分母都由一个小量 t 控制，先换元再比较首项。",
      "steps": [
        "令 t=1/x，则 t→0，原式变为 [e^(sin t)−1]/[(1+t)^k−(1+t)]。",
        "分子 e^(sin t)−1 ~ sin t ~ t。",
        "分母 =(1+t)[(1+t)^(k−1)−1] ~ (k−1)t。",
        "因此极限 =1/(k−1)。要它存在且非零，充要条件是 k≠1，选 A。"
      ],
      "key": "无穷远出现 1/x 时，换成 t→0 后标准等价无穷小最直接。",
      "pitfall": "k=1 时分母恒为 0，不是“极限为无穷”这么简单，而是原式本身失去定义。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-002": {
      "answer": "A",
      "section_id": "1.2",
      "title": "对数比值先化小量，arctan 差是一阶导数量级",
      "idea": "arctan x→π/2，真正决定阶数的是 arctan(x+1)−arctan x。",
      "steps": [
        "因 arctan(x+1)/arctan x→1，故 ln[arctan(x+1)/arctan x] ~ [arctan(x+1)−arctan x]/arctan x。",
        "由拉格朗日中值定理，arctan(x+1)−arctan x=1/(1+ξ²)，其中 x<ξ<x+1，因此与 1/x² 同阶。",
        "又 arctan x→π/2，所以整个对数 ~2/(πx²)。",
        "要 x^a 乘后得到有限非零 b，必须 a=2，且 b=2/π，选 A。"
      ],
      "key": "“相邻点函数差”优先想到中值定理：差值 ≈ 导数 × 步长。",
      "pitfall": "只用 arctan x→π/2 会得到 1 的比值，却看不出下一阶的 1/x²。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-003": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.3",
      "title": "分别找首项，按 x 的幂次排序",
      "idea": "三个无穷小无需算比值，先各自化成 Cx^m。",
      "steps": [
        "β(x)=√(1+x²)−√(1−x²)=2x²/[√(1+x²)+√(1−x²)] ~ x²。",
        "α(x)=tan x−sin x=(1−cos x)tan x ~ (x²/2)·x=x³/2。",
        "γ(x)=∫₀^(1−cos x) sin t dt =1−cos(1−cos x) ~ (1/2)(1−cos x)² ~ x⁴/8。",
        "阶数从低到高为 x²、x³、x⁴，即 β、α、γ，选 D。"
      ],
      "key": "对 x→0 的幂型无穷小，指数越小阶数越低、数值衰减越慢。",
      "pitfall": "“高阶无穷小”不是“数值更大”，恰恰是衰减得更快。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-004": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.3",
      "title": "展开到 x²，直接判断它比 x 高一阶",
      "idea": "题目只问相对 x 的阶数，展开到二阶就够。",
      "steps": [
        "2 ln(1+x)/x =2−x+(2/3)x²+o(x²)。",
        "因此 (1+x)^(2/x)=e²[1−x+(7/6)x²+o(x²)]。",
        "而 e²[1−ln(1+x)]=e²[1−x+(1/2)x²+o(x²)]。",
        "两者之差 =e²·(2/3)x²+o(x²)=o(x)，所以它是关于 x 的高阶无穷小，选 C。"
      ],
      "key": "判断“与 x 的关系”不必追求完整极限，只要找到差值第一个非零项。",
      "pitfall": "两式都趋于 e²，不能据此判断它们的差与 x 同阶还是高阶。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-005": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.3",
      "title": "初值给出前两阶为零，方程直接给二阶系数",
      "idea": "不需要解微分方程；只在 x=0 处读取 y、y′、y″。",
      "steps": [
        "已知 y(0)=0、y′(0)=0。由方程 y″+2y′+y=e^(3x)，代 x=0 得 y″(0)=1。",
        "所以 y(x)=x²/2+o(x²)。",
        "四个选项中：sin(x²)~x²，sin x~x，ln(1+x²)~x²，而 ln√(1+x²)=(1/2)ln(1+x²)~x²/2。",
        "只有 D 与 y(x) 等价，选 D。"
      ],
      "key": "求函数在一点附近的等价阶，若已知若干阶导数，直接用泰勒首个非零项。",
      "pitfall": "为了一道局部等价题完整求解二阶非齐次微分方程，计算量大且没必要。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-006": {
      "answer": "B",
      "section_id": "1.5",
      "title": "f(x)/x 在 0 附近就是导数定义",
      "idea": "f(0)=0 后，f(x)/x 正好化成差商。",
      "steps": [
        "x≠0 时 F(x)=f(x)/x=[f(x)−f(0)]/(x−0)。",
        "因此 lim(x→0)F(x)=f′(0)≠0。",
        "但 F(0)=f(0)=0，所以极限存在且有限，却不等于函数值。",
        "故 x=0 是可去间断点，也就是第一类间断点，选 B。"
      ],
      "key": "看到 f(x)/x 且 f(0)=0，要立刻识别成 f′(0) 的差商。",
      "pitfall": "极限存在不代表连续；还要和 F(0) 比较。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-007": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.5",
      "title": "x=−1 有零因子兜底，x=1 出现 arctan 跳变",
      "idea": "两个特殊点分别看乘法因子 x+1 与 arctan 的无穷极限。",
      "steps": [
        "当 x→−1 时，arctan[1/(x²−1)] 始终有界，而 x+1→0，所以 f(x)→0=f(−1)，在 x=−1 连续。",
        "当 x→1⁻ 时，1/(x²−1)→−∞，arctan→−π/2，且 x+1→2，所以左极限为 −π。",
        "当 x→1⁺ 时相应极限为 +π，左右极限不同。",
        "因此 x=−1 连续、x=1 间断，选 D。"
      ],
      "key": "“趋于 0 的因子 × 有界因子”可直接判 0，不必研究有界因子的具体极限。",
      "pitfall": "把 arctan(±∞) 都看成同一个 π/2，忽略符号。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-008": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.5",
      "title": "先列 0、1、2 三个可疑点，再判断是否无穷",
      "idea": "对数、绝对值分母和指数分母分别制造三个特殊点。",
      "steps": [
        "表达式可能失效的点只有 x=0、1、2。",
        "x→0 时，x ln|x|→0，而其余因子趋于有限非零值，所以极限为 0，x=0 是可去间断点。",
        "x→1 的一侧，指数 1/[(x−1)(x−2)]→+∞，指数因子把函数推向无穷，因此 x=1 是无穷间断点。",
        "x→2 的一侧同样使指数→+∞，而前面的代数因子趋于 2ln2，所以 x=2 也是无穷间断点。故无穷间断点共 2 个，选 C。"
      ],
      "key": "指数 e^(1/g(x)) 在 g(x)→0 时，要先看 1/g 的正负方向；只要一侧→+∞ 就足以判第二类。",
      "pitfall": "把所有表达式无定义点都直接数成“无穷间断点”；x=0 实际可去。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-009": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.4",
      "title": "极限定义里的误差不能擅自指定成 1/n",
      "idea": "a_n→a 只保证对固定 ε 最终成立，不保证误差速度快过 1/n。",
      "steps": [
        "A 正确：取固定 M=(a+1)/2>1，由 a_n→a 可知充分大 n 时 a_n>M。",
        "B 正确：b_n−a_n→b−a>0，所以充分大 n 时 b_n−a_n>0。C 也由保号性立即成立。",
        "D 不一定。取 a_n=2−2/n，则 a_n→2≠0。",
        "但对所有 n，a_n=2−2/n < 2−1/n，恰好否定 D。故选 D。"
      ],
      "key": "收敛只给“误差最终小于任意固定 ε”，不自动给 O(1/n) 这样的收敛速度。",
      "pitfall": "把 ε-N 定义中的 ε 误写成随 n 变化的 1/n。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-010": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.4",
      "title": "前三项用反例排除，乘积用绝对值直接证明",
      "idea": "关于无界/无穷的结论，最快的方法常是构造正负抵消或乘零反例。",
      "steps": [
        "A 错：取 x_n=n，y_n=−n，两者都无界，但 x_n+y_n=0 有界。",
        "B 错：取 x_n=n[1+(−1)^n]，y_n=n[1−(−1)^n]，两者都无界，但乘积恒为 0。",
        "C 错：取 x_n=n（无界）、y_n=0（有界），乘积仍为 0。",
        "D 对：若 |x_n|→∞、|y_n|→∞，则 |x_ny_n|=|x_n||y_n|→∞，所以乘积必为无穷大量。"
      ],
      "key": "遇到“无界 ⇒ 某运算也无界”先尝试抵消、交替为零等反例。",
      "pitfall": "“无界”比“趋于无穷”弱得多；无界数列可以频繁回到 0。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-011": {
      "answer": "B",
      "section_id": "1.4",
      "title": "一增一减且距离趋零，逼出共同有限极限",
      "idea": "若其中一个发散到无穷，另一个因差趋零也会一起发散，与相反的单调方向冲突。",
      "steps": [
        "y_n 单调增加。若它没有有限极限，则只能 y_n→+∞。",
        "又 x_n−y_n→0，于是 x_n→+∞；但 x_n 单调减少，始终有 x_n≤x_1，不可能趋于 +∞，矛盾。故 y_n 有有限极限。",
        "同理可知 x_n 也有有限极限。",
        "最后由 x_n−y_n→0 得两极限相等，选 B。"
      ],
      "key": "单调数列若不收敛，只可能沿其单调方向发散到无穷；再结合“差趋零”制造矛盾。",
      "pitfall": "“差趋于 0”本身不能保证两个数列都收敛，例如 x_n=n、y_n=n+1/n。这里单调方向才是关键。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-012": {
      "answer": "A",
      "section_id": "1.4",
      "title": "先把 y_n 写成 ln，再展开到 x_n²",
      "idea": "一次项恰好被减掉，所以 y_n 会比 x_n 再高一阶。",
      "steps": [
        "由 e^(x_n)=x_n+e^(y_n)，得 y_n=ln[e^(x_n)−x_n]。",
        "x_n→0 时，e^(x_n)−x_n=1+x_n²/2+O(x_n³)。",
        "因此 y_n=ln[1+x_n²/2+O(x_n³)]=x_n²/2+O(x_n³)。",
        "所以 y_n/x_n→0，y_n 是比 x_n 高阶的无穷小，选 A。"
      ],
      "key": "看到 e^x−x，注意常数 1 后的一次项已经消失，首个小量是 x²/2。",
      "pitfall": "直接用 e^x−1~x，却忘了题中还要再减一个 x，导致阶数判断错一阶。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-013": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.4",
      "title": "不用求反函数导数：对定义式直接取对数",
      "idea": "把 n=f(n)[1+ln f(n)] 代回目标，问题只剩 ln n 与 ln f(n) 的比值。",
      "steps": [
        "令 z=f(n)>1，则 n=z(1+ln z)。随 n→∞ 必有 z→∞，所以 {f(n)} 发散，A 错。",
        "由 f(n)/n=1/[1+ln f(n)]→0，所以 {f(n)/n} 收敛，B 错。",
        "对 n=z(1+ln z) 取对数：ln n=ln z+ln(1+ln z)。因 ln(1+ln z)/ln z→0，故 ln n/ln z→1。",
        "于是 f(n)ln n/n = ln n/[1+ln f(n)]→1，故该数列收敛，选 C。"
      ],
      "key": "隐式定义的数列先把目标用原方程改写，常比显式求逆函数更省。",
      "pitfall": "只由 f(n)/n→0 就误判再乘 ln n 后一定发散或一定为 0；必须继续比较 ln n 与 ln f(n)。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-014": {
      "answer": "B",
      "section_id": "1.4",
      "title": "反三角函数有界会“掩盖”原数列发散",
      "idea": "arctan 的值域有界，而 arcsin 在 [-1,1] 上连续单调，两个情形本质不同。",
      "steps": [
        "①②均错：取 x_n=n，则 arctan x_n 单调且收敛到 π/2，但 x_n 发散。",
        "③对：若 x_n∈[-1,1] 且 x_n 收敛，由 arcsin 的连续性，arcsin x_n→arcsin(lim x_n)。",
        "④对：x_n 在 [-1,1] 内单调，因此本身有界且收敛；再由 arcsin 连续，arcsin x_n 收敛。",
        "故正确的是 ③④，选 B。"
      ],
      "key": "连续函数把“收敛数列”送到收敛数列，但反过来通常不成立，尤其当函数把无穷压到有限区间。",
      "pitfall": "从 arctan x_n 收敛反推 x_n 收敛；arctan n→π/2 就是最直接反例。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-015": {
      "answer": "B",
      "section_id": "1.4",
      "title": "AM-GM 先证单调，再由极限方程锁定 1",
      "idea": "递推不等式里同时有 x_(n+1) 和 1/x_n，正适合用算术-几何平均。",
      "steps": [
        "由正数性和 AM-GM，√[x_(n+1)/x_n] ≤ [x_(n+1)+1/x_n]/2 <1，所以 x_(n+1)<x_n。",
        "因此 {x_n} 正且单调递减，有极限 A≥0。",
        "A 不能为 0：若 x_n→0，则 1/x_n→∞，而 x_(n+1)+1/x_n<2 不可能长期成立。故 A>0。",
        "对 [x_(n+1)+1/x_n]/2<1 取极限，得 (A+1/A)/2≤1；另一方面 AM-GM 给 (A+1/A)/2≥1，所以 A=1。选 B。"
      ],
      "key": "递推式中出现 u+1/v 时，先试 AM-GM 往往能同时得到单调性和极限方程。",
      "pitfall": "直接把严格不等式取极限写成严格不等式；取极限后只能得到 ≤。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-016": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.4",
      "title": "存在性判断：三个反例 + 一个夹逼",
      "idea": "不需要把四项都硬算；A、B、C 很快能找到左右极限或子列冲突。",
      "steps": [
        "A：x→1⁻ 时 1/(1−x)→+∞，分母中的指数项→∞，极限为 0；x→1⁺ 时指数项→0，极限为 1，故不存在。",
        "B：取 x_n=nπ，sin x_n=0，函数值为 1；取 y_n=(2n+1/2)π，sin y_n=1，函数近似 (1+1/y_n)^(y_n)→e，因此无极限。",
        "C：n+(-1)^n(n+1) 在偶数项趋于 +∞、奇数项恒为 −1，故不收敛。",
        "D：有 1/n ≤ Σ(k=1..n)1/k² ≤ n。取 n 次根得 (1/n)^(1/n) ≤ [Σ1/k²]^(1/n) ≤ n^(1/n)，两端都→1，故极限存在且为 1。选 D。"
      ],
      "key": "问“哪个极限存在”时，排除法往往最快：找两条子列或两个单侧极限即可否定。",
      "pitfall": "B 看起来像 (1+0)^∞，但 sin x 的振荡会保留下来，不能机械套 e 型极限。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-017": {
      "answer": "D",
      "section_id": "1.1",
      "title": "奇偶性沿积分层层传递",
      "idea": "先判断 t f(t) 的奇偶，再看从 0 到 u 的积分会改变哪一种奇偶性。",
      "steps": [
        "f(t) 为奇函数，而 t 也是奇函数，所以 t f(t) 为偶函数。",
        "令 H(u)=∫₀ᵘ t f(t)dt。偶函数从 0 到 u 的变上限积分 H(u) 是奇函数。",
        "再令 G(x)=∫ₐˣ H(u)du。因为 ∫₀ˣ H(u)du 是偶函数，而 G(x)=∫₀ˣH−∫₀ᵃH 只相差常数，所以 G 仍为偶函数。",
        "这正对应选项 D。"
      ],
      "key": "偶函数积分从 0 到 x 得奇函数；奇函数积分从 0 到 x 得偶函数。",
      "pitfall": "积分下限不是 0 时不要直接套结论；先拆成“从 0 到 x − 常数”。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-018": {
      "answer": "C",
      "section_id": "1.5",
      "title": "先求参数极限得到分段 f，再看积分函数的左右导数",
      "idea": "F 作为有界函数的积分一定连续；可导性则由 0 两侧的平均值决定。",
      "steps": [
        "固定 x。若 x>0，则 2^(tx)→∞，故 f(x)=1；若 x<0，则 2^(tx)→0，故 f(x)=x；x=0 时 f(0)=1/2。",
        "所以 f 在 0 只有一个有限跳跃，因而在任意有限区间上可积，F(x)=∫_(−1)^x f(t)dt 在 0 连续。",
        "右导数 F′_+(0)=lim(h→0⁺)(1/h)∫₀ʰ f(t)dt=1；左导数 F′_−(0)=lim(h→0⁻)(1/h)∫₀ʰ f(t)dt=0。",
        "左右导数不同，因此 F 在 0 连续但不可导，选 C。"
      ],
      "key": "积分函数在被积函数跳跃处仍连续，但导数通常继承左右极限而发生不一致。",
      "pitfall": "机械使用 F′(x)=f(x)；微积分基本定理的该结论要求 f 在该点连续。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-choice-019": {
      "answer": "A",
      "section_id": "1.1",
      "title": "全局有界分三段：0 附近、无穷远、剩余紧区间",
      "idea": "函数在 0 附近和无穷远都能控制，中间部分靠连续函数在闭区间有界。",
      "steps": [
        "x→0⁻ 与 x→0⁺ 时，[(x³−1)sin x]/[|x|(1+x²)] 分别趋于 1 与 −1，所以存在 δ>0，使 0<|x|<δ 时函数有界；再加 f(0)=0，0 附近整体有界。",
        "当 |x|→∞ 时，(x³−1)/[|x|(1+x²)] 分别趋于 ±1，而 |sin x|≤1，所以存在充分大的 X，使 |x|>X 时函数有界。",
        "在剩余的两个闭区间 [−X,−δ] 与 [δ,X] 上，f 连续，因此有界。",
        "三部分合起来，f 在整个实轴上有界，选 A。"
      ],
      "key": "证明全实轴有界的标准拼接：局部特殊点 + 两端无穷远 + 中间紧区间。",
      "pitfall": "“函数在无穷远有界”不能单独推出全局有界，还必须处理有限区间内的奇点。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-001": {
      "answer": "5",
      "result": "5",
      "section_id": "1.3",
      "title": "低阶项全部抵消，展开到五阶",
      "idea": "这是典型“看阶数”题。把 sin x 与 sin 2x 展开到第一次不抵消的阶。",
      "steps": [
        "sin x=x−x³/6+x⁵/120+o(x⁵)，且 sin x cos x=½sin2x=x−(2/3)x³+(2/15)x⁵+o(x⁵)。",
        "代入 f(x)=3x−4sin x+sin x cos x，一次项与三次项全部抵消。",
        "剩余 f(x)=(1/10)x⁵+o(x⁵)，故 f(x) 是关于 x 的 5 阶无穷小。"
      ],
      "key": "“求几阶无穷小”不是看到最低次就停，而是必须检查前面的项是否发生抵消。",
      "pitfall": "只展开到 x³ 会得到 0，不能据此判断函数恒为 0；应继续展开到首次非零项。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-002": {
      "answer": "−12",
      "result": "−12",
      "section_id": "1.3",
      "title": "分子分母都要展开到四阶",
      "idea": "分母的二阶项会完全抵消，所以泰勒至少做到 x⁴。",
      "steps": [
        "cos x−e^(x²)=−(3/2)x²+O(x⁴)，sin(x²)=x²+O(x⁶)，故分子=−(3/2)x⁴+o(x⁴)。",
        "√(1+x²)=1+x²/2−x⁴/8+o(x⁴)，所以 x²/2+1−√(1+x²)=x⁴/8+o(x⁴)。",
        "两者相除，极限=(−3/2)/(1/8)=−12。"
      ],
      "key": "加减结构先确认抵消到哪一阶，再决定泰勒展开深度。",
      "pitfall": "把 √(1+x²) 只展开到二阶会让分母看成 0，无法继续。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-003": {
      "answer": "6",
      "result": "6",
      "section_id": "1.3",
      "title": "先确定 f 的等价阶，再处理积分上限",
      "idea": "已知极限先把 f(t) 的主项锁定；积分上限 sin²x 又会把阶数再放大。",
      "steps": [
        "由 f(x)/(1−cos x)→−1，得 f(x)~−(1−cos x)~−x²/2。",
        "令 u=sin²x~x²，则 ∫₀ᵘf(t)dt ~ ∫₀ᵘ(−t²/2)dt=−u³/6。",
        "于是 ∫₀^{sin²x}f(t)dt ~ −x⁶/6，所以是 x 的 6 阶无穷小。"
      ],
      "key": "“函数的阶”与“积分后的阶”要分开算：t² 积分后变成 u³，再代入 u~x²。",
      "pitfall": "直接把 f(t) 写成 −x²/2 会混淆积分变量 t 与外部变量 x。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-004": {
      "answer": "Ae^b",
      "result": "Ae^b",
      "section_id": "1.2",
      "title": "把已知差商直接链到指数函数",
      "idea": "题设已经给出 f(x)−b 对 x−a 的一阶变化率，指数函数只再乘一个 e^b。",
      "steps": [
        "由 lim[f(x)−b]/(x−a)=A 可知 f(x)→b。",
        "拆成 [e^{f(x)}−e^b]/[f(x)−b] · [f(x)−b]/(x−a)。",
        "第一因子→e^b，第二因子→A，因此极限=Ae^b。"
      ],
      "key": "复合函数差商优先“乘除中间量”，本质就是链式法则。",
      "pitfall": "不要无条件写洛必达；题目没有直接给 f 的可导性，乘除中间量更稳。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-005": {
      "answer": "(1+e^(−1))^(3/2)−1",
      "result": "(1+e^(−1))^(3/2)−1",
      "section_id": "1.4",
      "title": "先做定积分，再处理 n 次幂极限",
      "idea": "被积函数带 x^(n−1) 与 √(1+x^n)，令 u=1+x^n 可一次积分完。",
      "steps": [
        "令 u=1+x^n，du=n x^(n−1)dx。设 r_n=(n/(n+1))^n。",
        "a_n=(3/2n)∫₁^{1+r_n}u^(1/2)du=(1/n)[(1+r_n)^(3/2)−1]。",
        "所以 n a_n=(1+r_n)^(3/2)−1；又 r_n→e^(−1)，故极限=(1+e^(−1))^(3/2)−1。"
      ],
      "key": "含 x^(n−1) 和 x^n 的积分，优先观察能否令 u=1+x^n。",
      "pitfall": "不要把上限 n/(n+1) 直接代极限为 1；它还处在 n 次幂里。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-006": {
      "answer": "1/(1−2k)",
      "result": "1/(1−2k)",
      "section_id": "1.4",
      "title": "化成 (1+c/n)^n 再取对数",
      "idea": "括号内恰好是 1 加一个 1/n 量，属于标准 e 型极限。",
      "steps": [
        "(n−2nk+1)/[n(1−2k)]=1+1/[n(1−2k)]。",
        "原式= n·ln(1+1/[n(1−2k)])。",
        "利用 ln(1+u)~u，极限为 1/(1−2k)。"
      ],
      "key": "看到 ln[(1+c/n)^n]，最省事就是先把幂拿下来。",
      "pitfall": "题设 k≠1/2 正是为了保证原分母 n(1−2k) 不为 0。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-007": {
      "answer": "1/a₁",
      "result": "1/a₁",
      "section_id": "1.4",
      "title": "最大项原则：n 次根只保留最大的底数",
      "idea": "0<a₁<a₂ 时，a₁^(−1)>a₂^(−1)，所以第一项决定 n 次根极限。",
      "steps": [
        "提出 a₁^(−n)：(a₁^(−n)+a₂^(−n))^(1/n)=a₁^(−1)[1+(a₁/a₂)^n]^(1/n)。",
        "因为 0<a₁/a₂<1，所以 (a₁/a₂)^n→0。",
        "[1+(a₁/a₂)^n]^(1/n)→1，故极限=1/a₁。"
      ],
      "key": "有限个正数的 n 次幂和再开 n 次根，极限由最大底数决定。",
      "pitfall": "注意这里比较的是 1/a₁ 与 1/a₂；a₁<a₂ 时反而 1/a₁ 更大。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-008": {
      "answer": "a=−1，b=0",
      "result": "a=−1，b=0",
      "section_id": "1.3",
      "title": "先提取 x² 的主尺度，再看常数项",
      "idea": "x→∞ 时实三次根 ∛(1−x⁶) 的主项是 −x²。",
      "steps": [
        "∛(1−x⁶)=−x²(1−1/x⁶)^(1/3)。",
        "由于 (1−1/x⁶)^(1/3)=1−1/(3x⁶)+o(x^(−6))，所以 ∛(1−x⁶)=−x²+o(1)。",
        "要使 ∛(1−x⁶)−a x²−b→0，先令 −1−a=0 得 a=−1；再得 −b=0，所以 b=0。"
      ],
      "key": "无穷远先按最高增长尺度匹配系数，再匹配常数项。",
      "pitfall": "三次根对负数有实值，∛(−x⁶)=−x²，符号不能丢。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-009": {
      "answer": "a=−2，b=2",
      "result": "a=−2，b=2",
      "section_id": "1.2",
      "title": "分别算 0⁺ 与 0⁻，利用取整函数跳变",
      "idea": "极限存在就要求左右极限相同；[x] 在 0 两侧分别为 0 和 −1。",
      "steps": [
        "x→0⁺ 时 [x]=0，且 ln(1+e^{2/x})/ln(1+e^{1/x})~(2/x)/(1/x)=2，因此 b=2。",
        "x→0⁻ 时 [x]=−1，e^{1/x}→0，故该对数比 ~e^{2/x}/e^{1/x}=e^{1/x}→0。左极限=−a。",
        "左右极限相等：−a=b=2，所以 a=−2，b=2。"
      ],
      "key": "遇到 [x]、符号函数等，先强制分左右极限。",
      "pitfall": "x→0⁻ 时不能再用 ln(1+e^{c/x})~c/x，因为此时 e^{c/x}→0，应使用 ln(1+u)~u。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-010": {
      "answer": "√2",
      "result": "√2",
      "section_id": "1.2",
      "title": "左右两边分别化成标准极限",
      "idea": "左边是幂指函数极限，右边长度为 1 的积分由积分中值定理直接趋向 f 的无穷远极限。",
      "steps": [
        "x→∞ 时 ln[(cos(a/x))^{x²}]=x² ln cos(a/x)→−a²/2，因此左边→e^(−a²/2)。",
        "由积分中值定理，∫_x^{x+1}f(t)dt=f(ξ_x)，ξ_x∈(x,x+1)，故 ξ_x→∞，右边→e^(−1)。",
        "e^(−a²/2)=e^(−1)，且 a>0，所以 a=√2。"
      ],
      "key": "“移动区间长度固定”的积分，若 f(x) 有无穷远极限，积分通常直接趋向该极限乘区间长度。",
      "pitfall": "幂指极限不要直接把底数 cos(a/x) 代成 1；必须先取对数。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-011": {
      "answer": "0",
      "result": "0",
      "section_id": "1.1",
      "title": "中心对称转化为奇函数积分",
      "idea": "关于点 (a,0) 对称意味着 f(a+x)=−f(a−x)。",
      "steps": [
        "设 g(x)=f(a−x)。则 g(−x)=f(a+x)=−f(a−x)=−g(x)，所以 g 是奇函数。",
        "I=∫_{−a}^{a}f(a−x)dx=∫_{−a}^{a}g(x)dx。",
        "奇函数在对称区间上的积分为 0，故 I=0。"
      ],
      "key": "函数图像关于点 (a,0) 中心对称 ⇔ f(a+x)=−f(a−x)。",
      "pitfall": "不要把“关于点对称”误写成 f(a+x)=f(a−x)，那是关于直线 x=a 对称。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-012": {
      "answer": "1",
      "result": "1",
      "section_id": "1.2",
      "title": "隐函数先求一、二阶导数，再做二阶等价",
      "idea": "分母 1+y(x) 在 x=1 处为 0，且一阶项也消失，需要继续到二阶。",
      "steps": [
        "由 y²+xy+x²−x=0 隐式求导：(2y+x)y′+y+2x−1=0。代入 (1,−1)，得 y′(1)=0。",
        "再对上式求导：2(y′)²+(2y+x)y″+2y′+2=0。代入 (1,−1,0)，得 y″(1)=2。",
        "因此 1+y(x)=½y″(1)(x−1)²+o((x−1)²)=(x−1)²+o((x−1)²)，极限为 1。"
      ],
      "key": "当函数值和一阶导都为 0 时，二阶泰勒就是最稳定的入口。",
      "pitfall": "隐函数求二阶导时容易漏掉对 (2y+x)y′ 的乘积求导。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-fill-013": {
      "answer": "f″(1)/(2[f′(1)]²)",
      "result": "f″(1)/(2[f′(1)]²)",
      "section_id": "1.3",
      "title": "用二阶泰勒消去两个无穷大的差",
      "idea": "两个分式都约为 1/[f′(1)(x−1)]，直接相减需要保留下一阶。",
      "steps": [
        "令 h=x−1。f(x)−f(1)=f′(1)h+½f″(1)h²+o(h²)。",
        "原式通分为 {f(x)−f(1)−f′(1)h}/[f′(1)h·(f(x)−f(1))]。",
        "分子~½f″(1)h²，分母~[f′(1)]²h²，故极限=f″(1)/(2[f′(1)]²)。"
      ],
      "key": "“两个同阶无穷大相减”优先通分，再用泰勒看第一项不抵消的位置。",
      "pitfall": "不能分别说两项都趋于无穷再直接做“∞−∞”；这是未定式。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-001": {
      "answer": "0",
      "result": "0",
      "section_id": "1.4",
      "title": "比值最终严格小于 1，先推出绝对值单调有界",
      "idea": "由 |a_{n+1}/a_n|→|q|<1，可在充分大 n 后用一个固定 r<1 控制比值。",
      "steps": [
        "取 r 满足 |q|<r<1。存在 N，使 n≥N 时 |a_{n+1}/a_n|≤r。",
        "于是 |a_{N+m}|≤|a_N|r^m，右边随 m→∞ 趋于 0。",
        "故 |a_n|→0，从而 a_n→0。"
      ],
      "key": "极限比值的绝对值小于 1，本质上意味着数列尾部被一个几何级数压住。",
      "pitfall": "不要先假设 lim a_n 存在再去代比值；题目要证明的正是 a_n 的极限。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-002": {
      "answer": "2",
      "result": "2",
      "section_id": "1.4",
      "title": "乘积先化成指数和",
      "idea": "每个 a_k 都是 2 的幂，乘积只需把指数相加。",
      "steps": [
        "a_k=2^(1/2^k)，所以 u_n=∏_{k=1}^n a_k=2^{Σ_{k=1}^n 1/2^k}。",
        "Σ_{k=1}^n1/2^k=1−1/2^n。",
        "因此 u_n=2^{1−1/2^n}→2。"
      ],
      "key": "指数型乘积优先取“指数和”，比逐项相乘稳定得多。",
      "pitfall": "等比和从 k=1 开始，极限是 1，不是 2。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-003": {
      "answer": "（Ⅰ）3；（Ⅱ）5/3",
      "result": "（Ⅰ）3；（Ⅱ）5/3",
      "section_id": "1.4",
      "title": "递推式改写成相邻差分，直接变成等比数列",
      "idea": "两问都不是硬解递推，而是观察 d_n=x_{n+1}−x_n。",
      "steps": [
        "（Ⅰ）x_{n+2}=½(3x_{n+1}−x_n)，故 d_{n+1}=½d_n。由 d₁=1，x_n=1+Σ_{k=1}^{n−1}(1/2)^{k−1}→3。",
        "（Ⅱ）x_{n+2}=½(x_n+x_{n+1})，故 d_{n+1}=−½d_n。仍有 d₁=1。",
        "于是 x_n=1+Σ_{k=1}^{n−1}(−1/2)^{k−1}→1+1/(1+1/2)=5/3。"
      ],
      "key": "线性二阶递推若只含相邻项，先试“作差”往往比特征方程更快。",
      "pitfall": "第二问差分公比是 −1/2，符号交替不能漏。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-004": {
      "answer": "两结论均成立",
      "result": "两结论均成立",
      "section_id": "1.5",
      "title": "构造差函数，再用介值定理",
      "idea": "目标 f(ξ)=f(ξ+h) 等价于差函数 g(x)=f(x+h)−f(x) 有零点。",
      "steps": [
        "（Ⅰ）令 g(x)=f(x+1/2)−f(x)，x∈[0,1/2]。g 连续，且 g(0)+g(1/2)=f(1)−f(0)=0。若端点已有 0 即得证；否则二者异号，由介值定理存在 ξ∈(0,1/2) 使 g(ξ)=0。",
        "（Ⅱ）令 F(x)=f(x+1/n)−f(x)，x∈[0,(n−1)/n]。考虑 F(0),F(1/n),…,F((n−1)/n)。",
        "它们的和望远镜相消：Σ_{k=0}^{n−1}F(k/n)=f(1)−f(0)=0。若其中有 0，结论成立；若无 0，则必同时有正有负，再由 F 连续和介值定理得到某 ξ 使 F(ξ)=0。"
      ],
      "key": "“两个点函数值相等”常转化为连续差函数的零点问题。",
      "pitfall": "第二问不能只看 F 的两个端点；要利用 n 个网格点的和为 0。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-005": {
      "answer": "2/27",
      "result": "2/27",
      "section_id": "1.2",
      "title": "先对积分型 0/0 用一次洛必达，再只保留主项",
      "idea": "分母 e^(3x³)−1~3x³；直接处理积分麻烦，洛必达一次后积分消失。",
      "steps": [
        "设 N(x)=∫₀ˣ[(3+2tan t)^t−3^t]dt，D(x)=e^(3x³)−1。N(0)=D(0)=0。",
        "洛必达：原极限=lim [(3+2tan x)^x−3^x]/[9x²e^(3x³)]。",
        "提出 3^x：[(3+2tan x)^x−3^x]=3^x{exp[x ln(1+(2/3)tan x)]−1}~(2/3)x²。",
        "而 9x²e^(3x³)~9x²，故极限=(2/3)/9=2/27。"
      ],
      "key": "积分上限就是 x 且整体为 0/0 时，先用变上限积分求导把问题降维。",
      "pitfall": "洛必达后仍要判断指数型差值的阶，不要把 (3+2tan x)^x 直接代成 1 就停止。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-006": {
      "answer": "−1/2",
      "result": "−1/2",
      "section_id": "1.2",
      "title": "先处理外层 1−e^(1/x)，再对增长积分用洛必达",
      "idea": "x→∞ 时 1−e^(1/x)~−1/x，所以整体先化成一个积分除以 x²。",
      "steps": [
        "记 g(t)=(1+t²)sin(1/t)−cos t。原式~−[∫₁ˣg(t)dt]/x²。",
        "由洛必达，lim [∫₁ˣg(t)dt]/x²=lim g(x)/(2x)。",
        "(1+x²)sin(1/x)/(2x)→1/2，而 cos x/(2x)→0。",
        "故原极限=−1/2。"
      ],
      "key": "无穷远出现 e^(1/x) 时先用 e^u−1~u，可立刻降低复杂度。",
      "pitfall": "cos x 本身无极限，但 cos x/x→0；有界量除以无穷大可以直接压掉。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-007": {
      "answer": "−2",
      "result": "−2",
      "section_id": "1.2",
      "title": "分子分母都发散，洛必达后拆成两个极限",
      "idea": "x→1⁻ 时对数与 tan 项都产生奇性，一次洛必达最自然。",
      "steps": [
        "对分子用变上限积分求导，对分母求导：原极限=lim_{x→1⁻}[ln(1−x)+tan(πx/2)]/cot(πx)。",
        "令 h=1−x→0⁺。cot(πx)=−cot(πh)~−1/(πh)。",
        "ln h /cot(πx)~−πh ln h→0；tan(πx/2)=cot(πh/2)~2/(πh)。",
        "因此第二项比值→−2，原极限=−2。"
      ],
      "key": "遇到两个不同类型的奇性时，洛必达后再分项往往比一开始硬展开更稳。",
      "pitfall": "tan(πx/2) 在 x→1⁻ 为正无穷，而 cot(πx) 为负无穷，最终符号是负。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-008": {
      "answer": "e^(e+1)/8",
      "result": "e^(e+1)/8",
      "section_id": "1.3",
      "title": "令 t=1/x，把两个极接近的指数表达式展开到 t²",
      "idea": "一阶项会完全抵消，所以必须保留二阶。",
      "steps": [
        "令 t=1/x→0。A=(1+t)^(1/t)=e[1−t/2+11t²/24+o(t²)]。",
        "于是 e^A=e^e[1−(e/2)t+(11e/24+e²/8)t²+o(t²)]。",
        "另一方面 (1+t)^(e/t)=e^e[1−(e/2)t+(e/3+e²/8)t²+o(t²)]。",
        "两式相减=e^e·(e/8)t²+o(t²)。再除以 t²（即乘 x²），得 e^(e+1)/8。"
      ],
      "key": "两个“大指数”趋向同一个常数时，先把指数自身展开，再展开外层指数。",
      "pitfall": "只展开到一阶会看到完全抵消，不能误判极限为 0。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-009": {
      "answer": "1",
      "result": "1",
      "section_id": "1.4",
      "title": "先比较两个指数，再用 e^u 的中值形式",
      "idea": "两个根式都趋于 1，差值的核心是指数 u_n−v_n。",
      "steps": [
        "记 u_n=ln(n+1)/n，v_n=ln n/(n+1)。由拉格朗日中值定理，e^{u_n}−e^{v_n}=e^{ξ_n}(u_n−v_n)，且 ξ_n→0，所以该差值~u_n−v_n。",
        "u_n−v_n=[(n+1)ln(n+1)−n ln n]/[n(n+1)]。分子=ln(n+1)+n ln(1+1/n)~ln n+1。",
        "故 n(√[n]{n+1}−√[n+1]{n})~(ln n+1)/n。",
        "(√[n]{e}−1)ln n=(e^{1/n}−1)ln n~(ln n)/n，二者之比→1。"
      ],
      "key": "根式指数同时含 n 时，统一写成 exp(ln·/n) 最清楚。",
      "pitfall": "不要分别把两个根式都替成 1 后做差；差值题必须保留下一阶。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-010": {
      "answer": "a=1，b=0，c=−1/3",
      "result": "a=1，b=0，c=−1/3",
      "section_id": "1.3",
      "title": "“误差高于三阶”就是前三阶系数完全匹配",
      "idea": "直接把 arctan x 的三阶泰勒与 ax+bx²+cx³ 对系数。",
      "steps": [
        "arctan x=x−x³/3+o(x³)。",
        "题设要求 arctan x−(ax+bx²+cx³)=o(x³)。",
        "比较 x、x²、x³ 系数：1−a=0，−b=0，−1/3−c=0。",
        "所以 a=1，b=0，c=−1/3。"
      ],
      "key": "最佳低阶多项式近似，本质就是泰勒多项式。",
      "pitfall": "“比 x³ 高阶”意味着连 x³ 项也必须消掉，不只是低于三阶的项。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-011": {
      "answer": "a=1",
      "result": "a=1",
      "section_id": "1.2",
      "title": "先用洛必达消掉变上限积分，再求两个大项之差",
      "idea": "分母是 x，分子是从 1 到 x 的积分；洛必达后只需研究被积函数在无穷远的极限。",
      "steps": [
        "洛必达后，给定极限等于 L=lim[(x+a)^(1+1/x)−x^(1+1/(x+a))]。",
        "写成 (x+a)e^{ln(x+a)/x}−x e^{ln x/(x+a)}。两个指数都趋于 0。用 e^u=1+u+O(u²)，且 x·u²→0。",
        "于是 L=a+[(x+a)/x·ln(x+a)−x/(x+a)·ln x]+o(1)。括号内→0，因此 L=a。",
        "题设 L=1，故 a=1。"
      ],
      "key": "无穷远的“两个近似 x 的大项相减”不能各自只写 ~x；必须保留常数级差。",
      "pitfall": "使用 e^u=1+u+O(u²) 时要确认乘回 x 后余项仍趋于 0；这里 x(ln x/x)²→0。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-012": {
      "answer": "（Ⅰ）lim x_n=0；（Ⅱ）e^(−1/6)",
      "result": "（Ⅰ）lim x_n=0；（Ⅱ）e^(−1/6)",
      "section_id": "1.4",
      "title": "先用单调有界得到 x_n→0，再把第二问转成标准小量极限",
      "idea": "递推 x_{n+1}=sin x_n 在正区间会严格减小；第二问只依赖 sin t/t 在 t→0 的精细展开。",
      "steps": [
        "（Ⅰ）x₂=sin x₁∈(0,1]。以后 x_n>0，且 sin x_n<x_n，所以 {x_n} 单调递减且下界为 0，极限 L 存在。由 L=sin L 且 L≥0，得 L=0。",
        "（Ⅱ）原式=[sin x_n/x_n]^(1/x_n²)。取对数：ln L=lim ln(sin x_n/x_n)/x_n²。",
        "sin t/t=1−t²/6+o(t²)，故 ln(sin t/t)=−t²/6+o(t²)。",
        "所以 ln L=−1/6，L=e^(−1/6)。"
      ],
      "key": "递推极限先证明存在，再代极限方程；不能倒过来只解 L=sin L。",
      "pitfall": "第二问是 1^∞ 型，必须先取对数。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-013": {
      "answer": "0",
      "result": "0",
      "section_id": "1.4",
      "title": "证明正且递减，再用极限方程排除正极限",
      "idea": "把递推写成 x_{n+1}=ln[(e^{x_n}−1)/x_n]，比较该比值与 1、e^{x_n}。",
      "steps": [
        "对 x>0，有 e^x−1>x，所以 (e^x−1)/x>1，从而 x_{n+1}>0。",
        "又 1−e^(−x)<x（x>0），等价于 (e^x−1)/x<e^x，因此 x_{n+1}<x_n。故 {x_n} 正且递减，极限 a≥0 存在。",
        "若 a>0，连续代入得 a=ln[(e^a−1)/a]，即 e^a(1−a)=1。",
        "但 h(a)=e^a(1−a) 在 a>0 上严格递减且 h(0)=1，因此 a>0 时 h(a)<1，矛盾。故 a=0。"
      ],
      "key": "递推含 ln 时先保证对数真数>1，往往能同时得到正性。",
      "pitfall": "极限方程在 a=0 处原表达式是 0/0，不能直接代；要用反证排除 a>0。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-014": {
      "answer": "（Ⅰ）1/(1−x)；（Ⅱ）sin x/x；（Ⅲ）1/n!",
      "result": "（Ⅰ）1/(1−x)；（Ⅱ）sin x/x；（Ⅲ）1/n!",
      "section_id": "1.2",
      "title": "三问都是“连乘积”，分别用代数恒等式、倍角公式和逐因子极限",
      "idea": "不要逐项硬算；每问都有能把连乘一次压缩的结构。",
      "steps": [
        "（Ⅰ）(1−x)∏_{k=0}^{n}(1+x^{2^k})=1−x^{2^{n+1}}。|x|<1 时右端→1，所以乘积极限=1/(1−x)。",
        "（Ⅱ）反复使用 sin u=2sin(u/2)cos(u/2)：∏_{k=1}^{n}cos(x/2^k)=sin x/[2^n sin(x/2^n)]→sin x/x。",
        "（Ⅲ）把每个因子分别除以 1−sin x：对 k=2,…,n，有 [1−(sin x)^{1/k}]/[1−sin x]→1/k。",
        "因此总极限=∏_{k=2}^{n}(1/k)=1/n!。"
      ],
      "key": "连乘题的高效入口通常是“找望远镜恒等式”或“化成有限个独立极限的乘积”。",
      "pitfall": "第三问 n 是固定整数，极限变量是 x→π/2，不要把 n 也当成趋于无穷。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-015": {
      "answer": "（Ⅰ）(1/2)ln a；（Ⅱ）−1/2",
      "result": "（Ⅰ）(1/2)ln a；（Ⅱ）−1/2",
      "section_id": "1.2",
      "title": "第一问逐层等价；第二问用有限极限反推出多项式零点与导数",
      "idea": "两问表面不同，核心都是先把“极限存在”转成函数在对应点必须满足的代数条件。",
      "steps": [
        "（Ⅰ）因 a^x−1~x ln a，题设给出 ln[1+f(x)/sin x]~(1/2)x ln a。于是 f(x)/sin x→0，且 ln(1+u)~u，故 f(x)/sin x~(1/2)x ln a。再用 sin x~x，得到 f(x)/x²→(1/2)ln a。",
        "（Ⅱ）lim_{x→2a}f(x)/(x−2a)=1 与 lim_{x→4a}f(x)/(x−4a)=1 说明 f(2a)=f(4a)=0，且对应导数均为 1。",
        "三次多项式可写 f(x)=A(x−2a)(x−4a)(x−B)。由两处导数条件得 B=3a，A=1/(2a²)。",
        "故 lim_{x→3a}f(x)/(x−3a)=A(3a−2a)(3a−4a)=−1/2。"
      ],
      "key": "多项式的“f(x)/(x−x₀) 有有限非零极限”意味着 x₀ 是一次零点，极限就是 f′(x₀)。",
      "pitfall": "第二问分母是 x−2a、x−4a、x−3a，不能误看成 x 再直接代值。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-016": {
      "answer": "2",
      "result": "2",
      "section_id": "1.4",
      "title": "递推式直接制造望远镜",
      "idea": "x_{n+1}=x_n(x_n+1)，恰好能把 1/(x_n+1) 写成两个倒数之差。",
      "steps": [
        "由递推式 x_{n+1}=x_n(x_n+1)，有 1/(x_n+1)=1/x_n−1/x_{n+1}。",
        "因此 S_n=Σ_{k=1}^n1/(x_k+1)=1/x₁−1/x_{n+1}=2−1/x_{n+1}。",
        "又 x₁=1/2，且 x_{n+1}>x_n>0；若有有限极限 L，则 L=L²+L 推出 L=0，与 L≥1/2 矛盾，所以 x_n→∞。",
        "故 1/x_{n+1}→0，S_n→2。"
      ],
      "key": "递推与求和同时出现时，优先尝试把通项变成相邻两项之差。",
      "pitfall": "只证明 x_n 单调递增还不够，还要排除收敛到有限正数。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    },
    "m2-01-comp-solution-017": {
      "answer": "0≤b_n≤a_n，且 lim a_n=lim b_n=0",
      "result": "0≤b_n≤a_n，且 lim a_n=lim b_n=0",
      "section_id": "1.4",
      "title": "先做逐点比较，再用夹逼",
      "idea": "证明积分不等式最直接的方式是比较被积函数；极限则用一个更简单的 x^n 上界。",
      "steps": [
        "令 F_n(x)=sin(x^n)−(sin x)^n，x∈[0,1]。F_n(0)=0。",
        "F_n′(x)=n x^{n−1}cos(x^n)−n(sin x)^{n−1}cos x。因 sin x≤x、x^n≤x 且 cos 在 [0,1] 上递减，故 x^{n−1}≥(sin x)^{n−1} 且 cos(x^n)≥cos x，从而 F_n′(x)≥0。于是 sin(x^n)≥(sin x)^n，积分得 0≤b_n≤a_n。",
        "又 0≤sin(x^n)≤x^n，所以 0≤a_n≤∫₀¹x^n dx=1/(n+1)→0。",
        "由夹逼定理 a_n→0，再由 0≤b_n≤a_n 得 b_n→0。"
      ],
      "key": "积分序列的极限常通过“被积函数统一上界 + 夹逼”解决，而不是先去精确积分。",
      "pitfall": "a_n 的 integrand 是 sin(x^n)，b_n 的 integrand 是 (sin x)^n，括号位置不能混。",
      "quality_status": "certified",
      "official_crosscheck": true,
      "scope_check": "math2",
      "solution_style": "exam_stable"
    }
  }
}