{
  "version": "1.0",
  "label": "数学二知识模块（编辑分类体系）",
  "note": "用于网站知识树与后续逐题语义挂载，不宣称为李林原书印刷小节。",
  "chapters": [
    {
      "id": 1,
      "name": "函数、极限、连续",
      "discipline": "高等数学",
      "sections": [
        {
          "id": "1.1",
          "name": "函数与基本性质",
          "review": "奇偶性、周期性、有界性、单调性是函数题最快的结构入口。"
        },
        {
          "id": "1.2",
          "name": "极限基本计算与常用极限",
          "review": "先定型，再做等价代换、拆项或有理化；优先使用考纲内常规极限。"
        },
        {
          "id": "1.3",
          "name": "等价无穷小与泰勒展开",
          "review": "等价无穷小用于乘除，泰勒用于精确到阶；加减结构不能直接乱换。"
        },
        {
          "id": "1.4",
          "name": "数列极限",
          "review": "单调有界、夹逼、递推极限与 Stolz 型思想按题目条件选择。"
        },
        {
          "id": "1.5",
          "name": "连续、间断与零点",
          "review": "连续先看极限与函数值；零点问题常与介值定理、单调性联动。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 2,
      "name": "一元函数微分学及其应用",
      "discipline": "高等数学",
      "sections": [
        {
          "id": "2.1",
          "name": "导数定义与可导性",
          "review": "遇到分段点、绝对值或非常规表达式，优先回到导数定义。"
        },
        {
          "id": "2.2",
          "name": "复合、隐式、参数与高阶导数",
          "review": "链式法则是主线；先画清变量依赖关系再求导。"
        },
        {
          "id": "2.3",
          "name": "微分中值定理",
          "review": "罗尔—拉格朗日—柯西按“构造差值/比值”的目标选择。"
        },
        {
          "id": "2.4",
          "name": "单调性、极值与最值",
          "review": "导数符号决定单调区间；驻点只是候选点，不等于极值点。"
        },
        {
          "id": "2.5",
          "name": "凹凸、拐点与渐近线",
          "review": "二阶导数判凹凸；拐点必须是曲线上的点并发生凹凸改变。"
        },
        {
          "id": "2.6",
          "name": "不等式与方程根",
          "review": "单调性、中值定理和辅助函数是考场最稳定的三种抓手。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 3,
      "name": "一元函数积分学及其应用",
      "discipline": "高等数学",
      "sections": [
        {
          "id": "3.1",
          "name": "不定积分基本方法",
          "review": "先识别基本积分型，再决定换元、分部或拆分。"
        },
        {
          "id": "3.2",
          "name": "定积分性质与计算",
          "review": "优先检查区间对称性、周期性和被积函数结构。"
        },
        {
          "id": "3.3",
          "name": "换元与分部积分",
          "review": "换元处理复合结构；分部积分优先让“越求导越简单”的部分求导。"
        },
        {
          "id": "3.4",
          "name": "变上限积分",
          "review": "先把上限看成新变量，再用微积分基本定理与链式法则。"
        },
        {
          "id": "3.5",
          "name": "反常积分",
          "review": "先找瑕点，再分段取极限；敛散性判断和积分值计算分开。"
        },
        {
          "id": "3.6",
          "name": "定积分几何与物理应用",
          "review": "面积、旋转体、弧长等先建立微元，再积分。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 4,
      "name": "多元函数微分学及其应用",
      "discipline": "高等数学",
      "sections": [
        {
          "id": "4.1",
          "name": "偏导数与全微分",
          "review": "偏导存在不推出可微；可微是比偏导存在更强的条件。"
        },
        {
          "id": "4.2",
          "name": "多元复合函数求导",
          "review": "链式法则按路径逐层展开，避免漏项。"
        },
        {
          "id": "4.3",
          "name": "隐函数求导",
          "review": "方程两边对目标自变量求导，再解出所需偏导。"
        },
        {
          "id": "4.4",
          "name": "多元函数极值与条件极值",
          "review": "无条件极值看驻点与 Hessian；条件极值优先拉格朗日乘子。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 5,
      "name": "二重积分",
      "discipline": "高等数学",
      "sections": [
        {
          "id": "5.1",
          "name": "积分区域与直角坐标",
          "review": "先画区域，再决定先 x 后 y 或先 y 后 x。"
        },
        {
          "id": "5.2",
          "name": "极坐标",
          "review": "出现圆、扇形、x²+y² 时优先考虑极坐标，并牢记雅可比因子 r。"
        },
        {
          "id": "5.3",
          "name": "对称性与换序",
          "review": "对称区域配合奇偶性可大幅减算；换序必须重新描述区域。"
        },
        {
          "id": "5.4",
          "name": "二重积分综合应用",
          "review": "比较大小、参数积分与几何量问题先抓被积函数在区域上的范围。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 6,
      "name": "微分方程及其应用",
      "discipline": "高等数学",
      "sections": [
        {
          "id": "6.1",
          "name": "可分离变量与齐次一阶方程",
          "review": "能分离就先分离；齐次型常用 y/x 或 x/y 代换。"
        },
        {
          "id": "6.2",
          "name": "一阶线性微分方程",
          "review": "标准化为 y′+P(x)y=Q(x)，再用通解公式或积分因子。"
        },
        {
          "id": "6.3",
          "name": "可降阶高阶方程",
          "review": "缺 y、缺 x 或只含 y′ 时用对应降阶变量。"
        },
        {
          "id": "6.4",
          "name": "常系数线性微分方程",
          "review": "先解特征方程，再按根的重数写齐次通解；非齐次再设特解。"
        },
        {
          "id": "6.5",
          "name": "微分方程应用",
          "review": "先定义未知函数与初值，再从变化率关系建模。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 7,
      "name": "行列式",
      "discipline": "线性代数",
      "sections": [
        {
          "id": "7.1",
          "name": "行列式性质与计算",
          "review": "行列变换、提公因子、制造零元素是最常用的计算路线。"
        },
        {
          "id": "7.2",
          "name": "展开定理与代数余子式",
          "review": "Mij 与 Aij 只差符号；按行列展开时不要混淆。"
        },
        {
          "id": "7.3",
          "name": "特殊行列式",
          "review": "三角型、范德蒙型、递推型先识别结构再计算。"
        },
        {
          "id": "7.4",
          "name": "克拉默法则",
          "review": "主要用于理论判断和低维参数题，前提是系数行列式非零。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 8,
      "name": "矩阵",
      "discipline": "线性代数",
      "sections": [
        {
          "id": "8.1",
          "name": "矩阵运算与逆矩阵",
          "review": "矩阵乘法不可交换；逆矩阵常用定义、伴随矩阵或初等变换。"
        },
        {
          "id": "8.2",
          "name": "初等变换与初等矩阵",
          "review": "左乘初等矩阵对应行变换，右乘对应列变换。"
        },
        {
          "id": "8.3",
          "name": "矩阵的秩",
          "review": "秩是极大线性无关组所含向量个数；初等变换不改变秩。"
        },
        {
          "id": "8.4",
          "name": "分块矩阵与矩阵方程",
          "review": "分块前先确认尺寸可乘；矩阵方程消元要注意乘法左右位置。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 9,
      "name": "向量",
      "discipline": "线性代数",
      "sections": [
        {
          "id": "9.1",
          "name": "线性相关与线性无关",
          "review": "找非零系数组合为零；少数向量时优先用定义或秩。"
        },
        {
          "id": "9.2",
          "name": "向量组等价与线性表示",
          "review": "“能由谁表出”对应列空间包含关系，双向表出才是等价。"
        },
        {
          "id": "9.3",
          "name": "极大无关组与秩",
          "review": "极大无关组的向量数等于向量组的秩，但具体组并不唯一。"
        },
        {
          "id": "9.4",
          "name": "向量正交",
          "review": "正交向量组天然线性无关；实对称矩阵不同特征值的特征向量正交。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 10,
      "name": "线性方程组",
      "discipline": "线性代数",
      "sections": [
        {
          "id": "10.1",
          "name": "齐次线性方程组",
          "review": "非零解存在当且仅当 r(A)<n；基础解系个数为 n-r(A)。"
        },
        {
          "id": "10.2",
          "name": "非齐次线性方程组",
          "review": "有解条件是 r(A)=r(A,b)；唯一解还需等于未知数个数。"
        },
        {
          "id": "10.3",
          "name": "解的结构",
          "review": "非齐次通解=一个特解+对应齐次方程通解。"
        },
        {
          "id": "10.4",
          "name": "参数方程组与公共解",
          "review": "公共解可把约束按行合并；参数题重点盯秩何时变化。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 11,
      "name": "相似矩阵",
      "discipline": "线性代数",
      "sections": [
        {
          "id": "11.1",
          "name": "特征值与特征向量",
          "review": "Aα=λα 是核心定义；多项式、逆矩阵的特征值可直接由 λ 变换。"
        },
        {
          "id": "11.2",
          "name": "相似矩阵与对角化",
          "review": "可对角化等价于存在 n 个线性无关特征向量。"
        },
        {
          "id": "11.3",
          "name": "实对称矩阵与正交对角化",
          "review": "实对称矩阵必可正交对角化；重根时在同一特征子空间内正交化。"
        }
      ]
    },
    {
      "id": 12,
      "name": "二次型",
      "discipline": "线性代数",
      "sections": [
        {
          "id": "12.1",
          "name": "二次型与矩阵表示",
          "review": "交叉项 xixj 的系数等于 2aij，矩阵取实对称形式。"
        },
        {
          "id": "12.2",
          "name": "合同变换与标准形",
          "review": "二次型变量替换对应 PᵀAP；配方法和正交变换都可化标准形。"
        },
        {
          "id": "12.3",
          "name": "惯性定理与规范形",
          "review": "合同保持正负惯性指数，不保持一般特征值。"
        },
        {
          "id": "12.4",
          "name": "正定二次型",
          "review": "实对称矩阵正定可用特征值、顺序主子式或二次型定义判断。"
        }
      ]
    }
  ]
}